沒有王者之路：幾何原本

內(nèi)容概要

　　《沒有王者之路：幾何原本》成書于公元前三百年左右，距離今天兩千三百年，《原本》的作者是亞歷山德拉的歐基里得（Euclid of Alexandria），他的生卒年根據(jù)推測大概是公元前330～260年，正是馬其頓英主亞歷山大開始發(fā)展勢力，開創(chuàng)希臘化文化的初期。《原本》是一本數(shù)學(xué)著作，章節(jié)安排有著嚴謹?shù)慕Y(jié)構(gòu)，全書由定義、公設(shè)、設(shè)準(zhǔn)、命題（定理）、證明，以及符號和圖像所構(gòu)成，全書共十三卷。　　《原本》其實是歐基里得將古希臘數(shù)學(xué)集大成的著作，包括了希臘科學(xué)數(shù)學(xué)家：泰利斯、畢達哥拉斯、希波克拉提斯等人的成果。導(dǎo)讀者翁秉仁教授認為《原本》之所以是經(jīng)典，是因為歐基里得采用了非常特殊的編纂法，就是推理的方法或邏輯。歐基里得的原創(chuàng)性不是表現(xiàn)四百多個命題的敘述，因為許多命題在當(dāng)時是已知的知識。歐基里得的天才表現(xiàn)在他有精準(zhǔn)深刻的眼光，選擇恰當(dāng)?shù)墓O(shè)，又有驚人的推理能力，可以一步步將這許多命題整合成一個體系。引用笛卡兒的譬喻，歐基里得不是只找出一條鐵鏈，而是將許多條推理的長練，編織成一張鐵鏈網(wǎng)，將所有的《原本》命題都固定在五個牢靠的首環(huán)上，亦即五個公設(shè)上，包括著名的“平行公設(shè)”。

作者簡介

　　翁秉仁，1960年生，1991年美國加州大學(xué)博士。目前為臺灣大學(xué)數(shù)學(xué)系副教授，研究興趣為拓樸學(xué)與幾何學(xué)?！笖?shù)學(xué)知識網(wǎng)站」的負責(zé)人?！　kibo，藝術(shù)家、設(shè)計師。曾任實踐大學(xué)應(yīng)用美術(shù)系講師、國立臺灣師范大學(xué)駐校藝術(shù)家，現(xiàn)任臺北科技大學(xué)互動媒體設(shè)計研究所講師，Akibo Works 負責(zé)人。曾為臺灣流行音樂創(chuàng)作許多令人矚目的經(jīng)典設(shè)計；同時他也創(chuàng)作許多機器人作品，從純藝術(shù)創(chuàng)作擴及到商業(yè)品牌、表演藝術(shù)、公共藝術(shù)到等各個領(lǐng)域。

書籍目錄

02 他們這么說這本書04 與作者相關(guān)的一些人06 這本書的事情08 這位作者的事情10 這本書要你去旅行的地方13 導(dǎo)讀 翁秉仁 63 隱藏在Akibo機器人幾何世界里的公設(shè)與命題Akibo81 原典選讀 歐幾里得原著116 這本書的譜系118 延伸的書、音樂、影像

章節(jié)摘錄

　　作為“經(jīng)典”的有力證明　　當(dāng)讀者知道這本經(jīng)典竟然是一本初高中程度的數(shù)學(xué)書時，也許覺得很泄氣又疑惑，納悶數(shù)學(xué)書怎么可以比得上《莊子》、《詩經(jīng)》或者莎士比亞的大著？在我們的教育里，數(shù)學(xué)或科學(xué)一向被塑造成困難又技術(shù)性的無聊學(xué)科，對一般人來說，除了考試之外，根本和我們沒有什么關(guān)系，讀者如果這樣想其實并不奇怪。但是，《原本》到現(xiàn)在流傳一千多種版本，除了《圣經(jīng)》之外，這本書是現(xiàn)存版本最多的書籍，這表示它有極高的傳抄度與傳播價值?！妒ソ?jīng)》的重要性廣為人知，但為什么第二名竟然會是一本數(shù)學(xué)書呢？《原本》也是年代最久遠、最成功、影響最深遠的教科書──一本教科書可以跨越時空、擁有多達一千多種版本，當(dāng)然有著非常重要的意義在里頭。　　《原本》是西方到二十世紀(jì)之前，知識分子或是精英教育必讀的經(jīng)典，地位就像中國人的《四書》。中世紀(jì)時，西方大學(xué)有所謂的“四藝”，學(xué)生要學(xué)算術(shù)、幾何、音樂跟天文，研讀《原本》是當(dāng)時精英想掌握知識的基本訓(xùn)練。當(dāng)然這種教育和現(xiàn)代普及教育很不一樣，當(dāng)時的讀書人很少?！　∽屛以倥e一些知名《原本》讀者的話來佐證。愛因斯坦無疑是當(dāng)世最知名的物理學(xué)家，是大家談到“天才”一詞時的首選。愛因斯坦這樣說過：　　十二歲剛開學(xué)時，我經(jīng)歷了人生……奇妙的事，一本處理歐氏幾何的小書，上頭提到三角形的三高交于一點，這件事絕非顯然，但是書上卻以不容置疑的確定性，證明了這個命題。那種清澈與確定的感覺，讓我留下難以形容的印象?！　≡倥e個例，我拿到這本神圣幾何小書前，舅舅曾經(jīng)告訴我勾股定理，經(jīng)過一番奮斗后，我用相似三角形的方法“證明”了這個定理，任何人第一次經(jīng)歷這種事，都會覺得人類竟然能夠達到這樣的確定性與純粹思考，實在是不可思議?！　∵@兩段話最重要的是后面的結(jié)論，理解《原本》價值的人都經(jīng)歷過類似的心路歷程，突然意識到自己憑借著思考，就能在變化復(fù)雜的現(xiàn)實世界中，推論出確定的知識，中間沒有任何遲疑、曖昧、模棱兩可的余地?！　⊥瑯拥母惺埽惨娭T英國知名的知識分子羅素。羅素的散文清晰而睿智，是諾貝爾文學(xué)獎的得主。他和數(shù)學(xué)的關(guān)系不深，但對數(shù)學(xué)哲學(xué)與分析哲學(xué)卓有貢獻，他說過：　　我十一歲開始跟哥哥讀歐幾里得，這是我一生中的大事，宛如初戀，我從沒想到世上有如此甘美的事物?！　∮纱丝芍对尽酚幸环N魔力，讓這兩位智慧超絕的大師在年少時，就受到莫大的吸引?！　〗酉聛砜纯吹谑蚊绹偨y(tǒng)林肯的說法：　　最后我對自己說，林肯，如果你始終搞不懂“證明”是什么，就別當(dāng)律師了。所以我放棄春田市的工作，回到父親家，直到我能夠?qū)⑸磉厷W幾里得六卷中的命題都做出來，我才繼續(xù)回去研究法律?！　×挚鲜锹蓭煶錾恚?dāng)時在春田市剛開始當(dāng)助理見習(xí)，受到挫折，因此回家躲起來練功，直到練完《原本》的前六卷，理解了證明的精義，才有信心繼續(xù)律師的事業(yè)。這是因為《原本》的思考方式和律師論證的方式一樣，需要嚴格的推理?！　　稁缀卧尽纷g者徐光啟是農(nóng)家子弟，四十二歲中進士，跟利瑪竇學(xué)習(xí)西法，四十四歲開始跟利瑪竇合譯《幾何原本》，他是西風(fēng)東漸早期，最能夠鑒賞西方思想的華人之一。底下段落節(jié)自《幾何原本》卷首之《幾何原本雜義》：　　此書有四不必：不必疑，不必揣，不必試，不必改。有四不可得：欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，欲前后更置之不可得?！　∵@是對《原本》很高的推崇，表示《原本》的結(jié)構(gòu)嚴謹，內(nèi)容知識確定，沒有可以懷疑和更動的空間。接著下面這段話很有意思：　　有三至三能：似至晦，實至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，實至簡，故能以其簡簡他物之至繁；似至難，實至易，故能以其易易他物之至難。易生于簡，簡生于明，綜其妙在明而已?！　W(xué)過初中數(shù)學(xué)尤其是幾何證明的讀者，對他這段話必定感到心有戚戚焉。沒學(xué)懂的，覺得數(shù)學(xué)真是晦澀、繁雜、困難。但是偏偏那些學(xué)懂的，說數(shù)學(xué)其實很明白、簡單、容易，而且他們還不是嘴巴上說說而已，面對一堆數(shù)學(xué)問題時，好像真的掌握了什么鑰匙，一通百通。徐光啟顯然也經(jīng)歷過這樣的震撼，然后他反省出中間的道理：我們之所以覺得容易，是因為其中的道理簡單，而之所以簡單，則是因為原理很明白，是每個人直覺就知道的事情。　　徐光啟是進士，對漢學(xué)傳統(tǒng)中抽象思想的部分有一定的理解，中國思想中儒道釋都有玄談的一面，像這類以至易御至難的文字并不少見，但是漢文化的玄學(xué)，通常以比附類推這種“闡釋”型、后見之明思想居多。但是《原本》卻不是玄學(xué)，是真正有用的以簡馭繁之學(xué)，徐光啟寫這段話必定心中頗有感觸，想必是讓他把《原本》這門西學(xué)引入中國的原因之一?！　⊥ハ荣t的數(shù)學(xué)知識　　《原本》有兩個基本要素。首先，它的內(nèi)容，也就是當(dāng)時已知的數(shù)學(xué)知識，部分是兩河流域文明、埃及文明已經(jīng)知道的經(jīng)驗知識；有些是希臘先賢發(fā)展的數(shù)學(xué)知識，大部分都不是歐幾里得的個人創(chuàng)見?！　〗?jīng)驗知識是從操作和觀察中所得到的知識，可能正確，也可能錯誤。例如許多文明都知道圓“周三徑一”，也就是圓周長是半徑的三倍，這是實用的錯誤知識。又例如許多文明知道3、4、5構(gòu)成直角三角形的三邊長，這是實用的正確知識。重點是，他們原來并不知道這些知識到底是對還是錯。人類的素樸數(shù)學(xué)知識，很像小學(xué)時代學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的探索　　方式。譬如說我要看三角形內(nèi)角和是不是180度，可去剪幾個三角形量量看，這樣的結(jié)果當(dāng)然不可靠，因為光靠測量結(jié)果所歸納的知識，可能只是近似的對，通常也只是孤立的知識。他們多半不知道手邊的知識，彼此之間是不是有關(guān)聯(lián)。　　比如光知道3、4、5構(gòu)成直角三角形的三邊長，和確定知道任意直角三角形，兩短邊的平方加起來是最長邊（斜邊）的平方（也就是勾股定理），這兩者的知識層級相去甚遠。來自早期文明的素樸數(shù)學(xué)知識通常只是經(jīng)驗有用的法則。　　不過《原本》的內(nèi)容倒不全是素樸知識，其中也有比較成熟的數(shù)學(xué)知識。歐幾里得并不是古希臘的第一個數(shù)學(xué)家，上文提過在他以前的很多先驅(qū)者，均是天文、數(shù)學(xué)或哲學(xué)上的大家。泰利斯經(jīng)常被稱為“西方科學(xué)之父”，因為他是第一個用理性方式思考宇宙原理的人；畢達哥拉斯創(chuàng)立了畢氏學(xué)派，他有非常完整的數(shù)學(xué)哲學(xué)，認為宇宙萬物都是數(shù)，因此一定有辦法用數(shù)的學(xué)問來理解這個宇宙。勾股定理一般認為是畢達哥拉斯或畢氏學(xué)派的杰作，這表示他們至少能局部上證明數(shù)學(xué)定理。尤多瑟士的“窮盡法”是極限概念的先聲，他和后來的希累提特斯打造了無理數(shù)的理論，發(fā)展“不可公度量”的概念。這些都收錄在《原本》中?！　∈聦嵣?，到了柏拉圖時代，希臘文化已經(jīng)十分尊崇幾何學(xué)。柏拉圖在雅典開創(chuàng)的雅典學(xué)院，提供知識分子學(xué)術(shù)思辨與教育傳承的場所，號稱史上第一所大學(xué)。據(jù)說在學(xué)院入口的大門上刻著“不識幾何學(xué)不能入此學(xué)院”的教箴。柏拉圖甚至還說過“上帝以幾何造世”（God ever geometrize）的名言。因此，身為雅典學(xué)院的傳人，歐幾里得在撰寫《原本》時，面前已經(jīng)有許多已知的數(shù)學(xué)知識，因為先驅(qū)者已經(jīng)提煉出許多經(jīng)過思考、成熟度不一的材料。他所面臨的問題，是如何編纂這些數(shù)學(xué)知識。如果他只是將這些知識羅列起來，按照人名或領(lǐng)域來分門別類或排序的話，那么《原本》就根本稱不上偉大?！对尽分允墙?jīng)典，就是因為歐幾里得采用了非常特殊的編纂法，這就直接牽涉到《原本》背景的第二個基本要素?！　≌莆者壿嬐评淼蔫€匙《原本》的第二個要素，簡單地說，就是推理的方法或邏輯。柏拉圖時代的雅典社會，是基于奴隸制的民主城邦社會。雅典人喜歡議論或辯論，也讓他們從經(jīng)驗里慢慢發(fā)展出嚴格的推理邏輯。希臘哲學(xué)家蘇格拉底、柏拉圖、亞里士多德號稱“希臘三哲”，他們的思想是西方思想的源頭。我們從柏拉圖著作中所記載的蘇格拉底言論，還有柏拉圖、亞里士多德的著作中，知道希臘人掌握了這樣的思考方法?！　∷伎纪评淼姆椒撎ビ谌祟惖难哉Z方式。只是希臘哲學(xué)家，從里面整理出推理的規(guī)則。比如柏拉圖非常重視敘述的真假、有效的推理、運用定義的方法，而他的學(xué)生亞里士多德，更完成了第一個邏輯推理體系。推理方法是歐幾里得編纂《原本》的重要基礎(chǔ)。　　所謂推理方法，就是思考時，能夠從前面的敘述推出后面結(jié)論的正確方法。希臘哲學(xué)家看出一個關(guān)鍵點：當(dāng)我們思考時，必須嚴格遵守推理的形式，不然思考就有陷入錯誤的危險；至于思考過程的正確與否，并不能依靠結(jié)論的真假來判斷。舉一個簡單的例子，假設(shè)“所有動物都會死亡”，那么因為“人是動物”，所以你可以推論出“人會死亡”的結(jié)果，這是一個正確的推論形式。我們現(xiàn)在套用這個形式，假設(shè)“所有動物都是卵生”，都要產(chǎn)卵孵育下一代，那因為“人是動物”，所以“人是卵生”的。請注意，這個推論是正確的，因為它遵守了正確的推理形式。當(dāng)然，人是卵生動物是荒謬的，但這并不表示推理過程的形式有誤，而是一開頭的前提“所有動物都是卵生”是錯的?！　≡倥e一個反面的例子。假設(shè)“所有動物都會死亡”，那么因為“人會死亡”，所以“人是動物”。這看起來好像很正確，因為結(jié)論是對的，但即使上面三個敘述都是對的，其實這段推理仍然是錯謬的。為什么呢？只要舉出一個反例就可以證明了。例如“蘭花也會死亡”，按照上面的“推理”方式，就應(yīng)該推論出“蘭花是動物”，這當(dāng)然是荒謬的。我們從正確的前提，卻“推論”出錯誤的結(jié)論，這表示這種推理形式是錯誤的。所以，推論的重點在于形式，并不是其中牽涉到的敘述都對，推論就一定正確　　……

編輯推薦

　　《沒有王者之路：幾何原本》羅素曾經(jīng)這樣形容某本書給他的讀后感：“宛如初戀，我從沒想到世上有如此甘美的事物。”他說的不是愛情小說，而是由謎一般的歐幾里得所寫的《原本》。理解《原本》價值的人，都經(jīng)歷過類似的心路歷程：突然意識到自己憑借著思考，就能在變化復(fù)雜的現(xiàn)實世界中，推論出確定的知識，中間沒有任何遲疑、曖昧、模棱兩可的余地。這就是《原本》的魔力。

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