代數(shù)學(xué)I

前言

　　代數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個重要的基礎(chǔ)的分支，歷史悠久．我國古代在代數(shù)學(xué)方面有光輝的成就．一百多年來，尤其是20世紀(jì)以來，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展以及應(yīng)用的需要，代數(shù)學(xué)的研究對象以及研究方法發(fā)生了巨大的變革．一系列的新的代數(shù)領(lǐng)域被建立起來，大大地擴(kuò)充了代數(shù)學(xué)的研究范圍，形成了所謂近世代數(shù)學(xué)．它與以代數(shù)方程的根的計算與分布為研究中心的古典代數(shù)學(xué)有所不同，它是以研究數(shù)字、文字和更一般元素的代數(shù)運(yùn)算的規(guī)律及各種代數(shù)結(jié)構(gòu)　　群、環(huán)、代數(shù)、域、格等的性質(zhì)為其中心問題的．由于代數(shù)運(yùn)算貫穿在任何數(shù)學(xué)理論和應(yīng)用問題里，也由于代數(shù)結(jié)構(gòu)及其中元素的一般性，近世代數(shù)學(xué)的研究在數(shù)學(xué)中是具有基本性的．它的方法和結(jié)果滲透到那些與它相接近的各個不同的數(shù)學(xué)分支中，成為一些有著新面貌和新內(nèi)容的數(shù)學(xué)領(lǐng)域一一代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、拓?fù)浯鷶?shù)、Lie群和Lie代數(shù)、代數(shù)拓?fù)?、泛函分析等．這樣，近世代數(shù)學(xué)就對于全部現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展有著顯著的影響，并且對于一些其他的科學(xué)領(lǐng)域（如理論物理學(xué)、計算機(jī)原理等）也有較直接的應(yīng)用?！　v史上，近世代數(shù)學(xué)可以說是從19世紀(jì)之初發(fā)生的，Galois應(yīng)用群的概念對于高次代數(shù)方程是否可以用根式來解的問題進(jìn)行了研究并給出徹底的解答，他可以說是近世代數(shù)學(xué)的創(chuàng)始者．從那時起，近世代數(shù)學(xué)由萌芽而成長而發(fā)達(dá)．大概由19世紀(jì)的末葉開始，群以及緊相聯(lián)系著的不變量的概念，在幾何上、在分析上以及在理論物理上，都產(chǎn)生了重大的影響．深刻研究群以及其他相關(guān)的概念，如環(huán)、理想、線性空間、代數(shù)等，應(yīng)用于代數(shù)學(xué)各個部分，這就形成近世代數(shù)學(xué)更進(jìn)一步的演進(jìn)，完成了以前獨立發(fā)展著的三個主要方面——代數(shù)數(shù)論、線性代數(shù)及代數(shù)、群論的綜合．對于這一步統(tǒng)一的工作，近代德國代數(shù)學(xué)派起了主要的作用．由Dedekind及Hilbert于19世紀(jì)末葉的工作開始，steinitz于1911年發(fā)表的論文對于代數(shù)學(xué)抽象化工作貢獻(xiàn)很大，其后自1920年左右起以Noether?和Artin及她和他的學(xué)生們?yōu)橹行?，近世代?shù)學(xué)的發(fā)展極為燦爛。

內(nèi)容概要

全書共分兩卷，涉及的面很廣，可以說概括了1920—1940年代數(shù)學(xué)的主要成就，也包括了1940年以后代數(shù)學(xué)的新進(jìn)展，是代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作之一。本書是第一卷，分成11章：前5章以最小的篇幅包括了為所有其余各章作準(zhǔn)備的知識，即有關(guān)集合、群、環(huán)、域、向量空間和多項式的最基本的概念；其余各章主要講述交換域的理論，包括Galois理論和實域。

作者簡介

Bartel Leendert van der Waerden (February 2, 1903, Amsterdam, Netherlands – January 12, 1996, Zürich, Switzerland) was a Dutch mathematician.
Van der Waerden learned advanced mathematics at the University of Amsterdam and the University of G?ttingen, from 1919 until 1926. He was much influenced by Emmy Noether at G?ttingen. Amsterdam awarded him a Ph.D. for a thesis on algebraic geometry, supervised by Hendrick de Vries. G?ttingen awarded him the habilitation in 1928.
In his 27th year, Van der Waerden published his Algebra, an influential two-volume treatise on abstract algebra, still cited, and perhaps the first treatise to treat the subject as a comprehensive whole. This work systematized an ample body of research by Emmy Noether, David Hilbert, Richard Dedekind, and Emil Artin. In the following year, 1931, he was appointed professor at the University of Leipzig.
The Third Reich made life difficult for Van der Waerden as a foreigner teaching in Germany, but he refused to give up his Dutch nationality. He filled the chair in mathematics at the University of Amsterdam, 1948–1951, then moved to the University of Zurich, where he spent the rest of his career, supervising more than 40 Ph.D. students.
Van der Waerden is mainly remembered for his work on abstract algebra. He also wrote on algebraic geometry, topology, number theory, geometry, combinatorics, analysis, probability and statistics, and quantum mechanics (he and Heisenberg had been colleagues at Leipzig). In his later years, he turned to the history of mathematics and science. His historical writings include Ontwakende wetenschap (1950), which was translated into English as Science Awakening (1954), Geometry and Algebra in Ancient Civilizations (1983), and A History of Algebra (1985).

書籍目錄

引言第1章  數(shù)與集合  1.1  集合  1.2  映射，勢  1.3  自然數(shù)序列  1.4  有限與可數(shù)集合  1.5  分類第2章  群  2.1  群的概念  2.2  子群  2.3  群子集的運(yùn)算，陪集  2.4  同構(gòu)與自同構(gòu)  2.5  同態(tài)，正規(guī)子群，商群第3章  環(huán)與域  3.1  環(huán)  3.2  同態(tài)與同構(gòu)  3.3  商的構(gòu)成  3.4  多項式環(huán)  3.5  理想，同余類環(huán)  3.6  整除性，素理想  3.7  Euclid環(huán)與主理想環(huán)  3.8  因子分解第4章  向量空間和張量空間  4.1  向量空間  4.2  維數(shù)不變性  4.3  對偶向量空間  4.4  體上的線性方程組  4.5  線性變換  4.6  張量  4.7  反對稱雙線性型與行列式  4.8  張量積，縮并與跡第5章  多項式  5.1  微分法  5.2  多項式的零點  5.3  內(nèi)插公式  5.4  因子分解  5.5  不可約性判定標(biāo)準(zhǔn)  5.6  因子分解在有限步下的完成  5.7  對稱函數(shù)  5.8  兩個多項式的結(jié)式  5.9  結(jié)式作為根的對稱函數(shù)  5.10  有理函數(shù)的部分分式分解第6章  域論  6.1  子體，素體  6.2  添加  6.3  單純域擴(kuò)張  6.4  域的有限擴(kuò)張  6.5  域的代數(shù)擴(kuò)張  6.6  單位根  6.7  Galois域（有限域）  6.8  可分與不可分?jǐn)U張  6.9  完全域及不完全域  6.10  代數(shù)擴(kuò)張的單純性，本原元素定理  6.11  范數(shù)與跡第7章  群論續(xù)  7.1  帶算子的群  7.2  算子同構(gòu)和算子同態(tài)  7.3  兩個同構(gòu)定理  7.4  正規(guī)群列與合成群列  7.5  pn階群  7.6  直積  7.7  群的特征標(biāo)  7.8  交錯群的單純性  7.9  可遷性與本原性第8章  Galois理論  8.1  Galois群  8.2  Galois理論的基本定理  8.3  共軛的群、域與域的元素  8.4  分圓域  8.5  循環(huán)域與純粹方程  8.6  用根式解方程  8.7  n次一般方程  8.8  二次、三次與四次方程  8.9  圓規(guī)與直尺作圖  8.10  Galois群的計算，具有對稱群的方程  8.11  正規(guī)基第9章  集合的序與良序  9.1  有序集合  9.2  選擇公理與Zorn引理  9.3  良序定理  9.4  超限歸納法第10章  無限域擴(kuò)張  10.1  代數(shù)封閉域  10.2  單純超越擴(kuò)域  10.3  代數(shù)相關(guān)性與無關(guān)性  10.4  超越次數(shù)  10.5  代數(shù)函數(shù)的微分法第11章  實域  11.1  有序域  11.2  實數(shù)的定義  11.3  實函數(shù)的零點  11.4  復(fù)數(shù)域  11.5  實域的代數(shù)理論  11.6  關(guān)于形式實域的存在定理  11.7  平方和索引

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